Par : Renée-Claude Goulet
Musée de l'agriculture et de l'alimentation du Canada
Trois choses que vous devriez savoir sur l'utilisation des mathématiques dans l'exploration spatiale, sur la maîtrise de la géométrie par les abeilles et sur le caractère unique d'un paquet mélangé.
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23 sept. 2022
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Musée des sciences et de la technologie du Canada
Musée de l’aviation et de l’espace du Canada
Voici Cassandra Marion, Renée-Claude Goulet et Michelle Campbell Mekarski.
Ces conseillères scientifiques d’Ingenium fournissent des conseils éclairés sur des sujets importants pour le Musée de l’aviation et de l’espace du Canada, le Musée de l’agriculture et de l’alimentation du Canada et le Musée des sciences et de la technologie du Canada.
Dans cette captivante série mensuelle de billets publiés sur le blogue, les conseillères scientifiques d’Ingenium présentent des « pépites » d’information insolite en lien avec leur champ d’expertise respectif. Pour l’édition de septembre, elles expliquent comment les mathématiques sont un outil indispensable à l'exploration spatiale, comment les abeilles mellifères sont des maîtresses de la géométrie et le caractère unique extraordinaire d’un paquet mélangé.
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Réfléchissez aux calculs rigoureux requis pour le lancement de l’étage de remontée du module lunaire depuis la surface de la Lune et découvrez le module de commande d’Apollo 11 qui figure sur cette photo alors qu’il était à environ 384 000 kilomètres de la Terre.
Les mathématiques : un outil indispensable à l’exploration spatiale
Les mathématiques sont essentielles à l’observation, à l’exploration et à la compréhension de l’espace. Qu’il s’agisse d’arithmétique fondamentale, de calcul infinitésimal, d’algèbre, de géométrie, ou de statistiques et de probabilités. Elles sont imbriquées dans les domaines du génie aérospatial, de l’astronomie et des sciences planétaires. Sans elles, on n’aurait pas réalisé de vols spatiaux, on n’aurait pas de radios par satellite ou de GPS, on n’aurait pu aller sur la Lune ou survoler Mars en hélicoptère, ou avoir vu des images haute résolution de Pluton. Nous jetons ici un coup d'œil à quelques-unes des innombrables façons d’utiliser les mathématiques pour l’exploration spatiale.
Pour envoyer un engin spatial dans l’espace, vous devez d’abord avoir une compréhension élémentaire de la façon dont fonctionne notre système solaire. Je fais référence aux équations qui décrivent la gravité, aux lois du mouvement de Newton, aux lois du mouvement planétaire de Kepler (comment les planètes se déplacent en orbites elliptiques autour du Soleil) et ainsi de suite, lesquelles expliquent les forces agissant sur les corps célestes ainsi que leur mouvement. Ces concepts sont collectivement connus comme étant la « mécanique orbitale », que nous avons découvert ou appris grâce à des centaines d’années d’observation, de théorie et de manipulation d’équations.
Planifier une mission dans l’espace demande l’usage des mathématiques, qu’il s’agisse de simples conversions d’unités, de gestion budgétaire, du calcul de distances astronomiques ou de la modélisation de la trajectoire d’un engin spatial. Pour se rendre en orbite, une fusée doit être lancée depuis la surface d’une planète en rotation, laquelle se déplace également dans l’espace le long de son orbite autour du Soleil, toutes à différentes vitesses. Pour se rendre sur la Lune, on doit ajouter plus de variables et prédire la position de la Lune par rapport à la Terre lorsque l’engin spatial arrivera.
Le lancement d’une fusée requiert plusieurs types de calculs, à commencer par l’intensité de la poussée (la force qui travaille en opposition à la gravité et à la résistance dans ce cas) nécessaire pour soulever le poids de la charge utile de la fusée depuis la surface de la Terre dans son atmosphère et la faire accélérer à la vitesse orbitale (7,8 km/s). Une équation couramment utilisée pour les fusées nous permet de réaliser cela en calculant le différentiel de vitesse (Δv), soit la différence de vitesse proportionnelle à la poussée par unité de masse et le temps de combustion des moteurs de la fusée. On doit également déterminer la quantité spécifique de propergol nécessaire pour alimenter les moteurs pendant la durée appropriée. De plus, ces valeurs sont requises pour chaque étage de lanceur, puisque la plupart des fusées modernes sont composées de plusieurs fusées empilées les unes sur les autres et se séparent progressivement à des altitudes prédéterminées pour réduire la masse totale de l’engin spatial. Une fois en orbite, une modélisation mathématique est réalisée pour suivre la position et la vitesse de l’engin spatial, et naviguer dans l’espace.
Les instruments à bord de l’engin spatial et des télescopes sur la surface de la Terre sont utilisés pour une gamme de communications, la navigation et la télédétection (p. ex., caméras, spectromètres), et nécessitent des mathématiques pour créer, faire fonctionner ou interpréter les données obtenues. Grâce à elles, on a déterminé et mesuré les caractéristiques et les particularités de corps planétaires à des millions de kilomètres de distance.
Les mathématiques sont un outil exceptionnel et indispensable pour comprendre et explorer notre système solaire et au-delà.
Aller plus loin
Problèmes mathématiques sur l’espace pour les classes @ NASA
Par Cassandra Marion
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Les cellules d’un rayon sont exactement la bonne taille pour qu’une abeille mellifère puisse y entrer. Elles servent d’entreposage pour le pollen et le miel, et de pouponnière pour les nouvelles abeilles.
Les abeilles mellifères, maîtresses de la géométrie
Les abeilles mellifères sont d’incroyables ingénieures. Leur capacité innée de construire des rayons de miel en cire aux motifs hexagonaux répétitifs et symétriques intrigue depuis longtemps tant les observateurs d’abeilles que les mathématiciens. Pourquoi l’hexagone plutôt que toute autre forme? Et comment les abeilles font-elles pour savoir quoi construire? Il semblerait que la nature a découvert bien avant nous que l’hexagone est tout simplement la forme la plus efficace en construction.
Lorsque les abeilles ont de 12 à 20 jours, une glande spéciale dans leur estomac leur permet de convertir le sucre qu’elles mangent en cire. La cire sort de leur abdomen sous forme de flocons qu’elles mâchent ensuite et appliquent à la structure en construction. La production de cire exige beaucoup d’énergie. Une abeille doit manger huit grammes de miel pour chaque gramme de cire qu’elle produit. Donc, chaque flocon est précieux, car il représente le travail d’une ruche entière et doit être utilisé de la façon la plus efficace.
Les abeilles mellifères utilisent les rayons de miel pour l’entreposage et comme pouponnière. Il est donc logique qu’elles veuillent en entreposer le plus possible dans un très petit espace. Une cellule circulaire en contiendrait plus, mais lorsqu’on la place dans une grille, chaque cellule a besoin de sa propre paroi et de l’espace est perdu entre les cercles. Ce n’est donc pas une bonne utilisation pour une matière si précieuse. Les abeilles ont trois options de formes de base pour couvrir une surface à 100 %, sans chevauchement : le triangle équilatéral, le carré ou l’hexagone. Ces formes sont spéciales, car chacun des côtés peut être partagé avec un voisin, créant ainsi ce que l’on appelle une mosaïque.
Alors, pourquoi l’hexagone et non le triangle ou le carré? Parce qu’il réduit la quantité de matière requise pour la construction, tout en maximisant la capacité d’entreposage! Cette explication est connue sous le nom de « théorème du nid d’abeille », lequel aurait été proposé il y a environ 2 000 ans et à plusieurs autres moments dans l’histoire. Ce concept veut que les hexagones soient la façon la plus efficace d’emboîter des formes dans un espace pour que chaque cellule de la même taille contienne la plus grande zone de surface avec le plus petit périmètre. Un mathématicien américain, Thomas C. Hales, l’a finalement prouvé mathématiquement en 1999.
Une autre excellente raison pour l’hexagone? La recherche a démontré que grâce aux angles itératifs à 120 degrés dans tous les coins des cellules, les forces de la structure sont équilibrées. Ainsi, les rayons de miel sont très solides, stables et résistants à l’écrasement, ce qui permet aux abeilles de bâtir des parois de cellules plus minces qu’une feuille de papier!
Grâce aux mathématiques, nous savons que les abeilles bâtissent des structures qui maximisent l’espace et la stabilité, tout en minimisant les matériaux de construction. Ce savoir peut être utile lorsqu’on innove pour trouver de nouvelles solutions en matière de matériaux de construction, d’architecture et même d’électroniques. Aujourd’hui, les abeilles sont toujours un sujet d’étude populaire et elles auront certainement de nombreuses autres leçons à nous enseigner!
Par Renée-Claude Goulet
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Un paquet de cartes mélangé tenu en éventail dans une main.
Le caractère unique extraordinaire d’un paquet mélangé
Procurez-vous un paquet de cartes ordinaire, mélangez-le, puis regardez l’ordre des cartes.
Entre vos mains, se trouve presque certainement un arrangement de cartes qui n’a jamais existé dans l’histoire. En fait, il est presque certain que si les humains continuent d’utiliser des cartes à jouer pendant des millions d’années, personne ne mélangera un paquet de cartes dans le même ordre une autre fois.
Comment est-ce possible? Combien de façons existe-t-il d’organiser un paquet de cartes?
Commençons petit. Imaginez que nous avons un paquet avec seulement deux cartes. Nous le mélangeons et découvrons les cartes une à la fois. Nous avons deux options possibles pour la première carte. Si nous déposons cette carte, il nous reste une seule carte à placer en deuxième. Donc, dans un paquet de deux cartes, il y a deux ordres possibles : la carte A suivie de la carte B ou la carte B suivie de la carte A.
Qu’en est-il d’un paquet de trois cartes? Nous avons trois options possibles pour la première carte. Si nous déposons la première carte, il reste deux options possibles pour la deuxième carte. Si nous plaçons la deuxième carte à côté de la première, il nous en reste une seule à déposer en dernier. Si nous écrivons toutes les combinaisons de cartes possibles, nous obtenons : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB ou CBA. Il y a donc six façons possibles de mélanger le paquet de trois cartes (trois fois plus que pour le paquet de deux cartes).
Dans un paquet de quatre cartes, nous aurions quatre options pour la première carte, nous laissant trois options pour la deuxième carte, deux options pour la troisième et la dernière carte est placée par défaut en quatrième. Dans un paquet de quatre cartes, il y a 24 façons possibles de mélanger le paquet (quatre fois plus que pour le paquet de trois cartes).
Remarquez-vous une tendance? On peut calculer le nombre de combinaisons possibles d’un paquet de cartes de n’importe quelle grosseur à l’aide d’une simple formule nommée factorielle.
Commencez par le nombre de cartes dans votre paquet et multipliez-le par des nombres entiers consécutivement plus petits jusqu’à ce que vous arriviez à un.
Dans un paquet de deux cartes : 2 x 1 = 2
Dans un paquet de trois cartes : 3 x 2 x 1 = 6
Dans un paquet de quatre cartes : 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Dans un paquet de cinq cartes : 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Et ainsi de suite.
Un paquet de 10 cartes présente plus de trois millions de combinaisons.
Un paquet de 20 cartes présente environ deux trillions et demi de combinaisons (18 zéros).
Un paquet normal de 52 cartes présente 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000 combinaisons (soit 68 chiffres de long). Il s’agit d’un nombre inexplicablement gros. C’est un nombre DE LOIN plus gros que l’âge de l’univers si nous le comptions en millisecondes (l’univers a 13,8 milliards d’années). Voilà plus de combinaisons qu’il y a d’atomes dans toute notre galaxie (laquelle compte plus de 100 000 000 000 étoiles).
Lorsque vous mélangez un paquet de cartes, vous tenez quelque chose qui existera (presque assurément) que cette fois-là. Il ne s’agit pas de magie, il s’agit de mathématiques.
Par Michelle Campbell Mekarski
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Renée-Claude Goulet
Renée-Claude est conseillère scientifique au Musée de l'agriculture et de l'alimentation du Canada et enseignante agréée de l'Ontario. Grâce à sa formation en biologie, en éducation et à ses nombreuses années d'expérience dans le développement et la mise en œuvre de programmes et expos au musée, elle a développé une expertise dans la communication de sujets liés à la science et à l'innovation qui sous-tendent la production d'aliments, de fibres et de carburants, auprès de publics variés.
Michelle Campbell Mekarski
En tant que conseillère scientifique au Musée des sciences et de la technologie du Canada, Michelle Campbell Mekarski vise à combler l’écart entre la communauté scientifique et le public en rendant les sciences et la technologie intéressantes, accessibles et amusantes. Détentrice d’un doctorat en biologie évolutionniste et en paléontologie, elle possède de nombreuses années d’expérience en conception et en animation d’activités de vulgarisation scientifique. Dans ses temps libres à l’extérieur du Musée, elle enseigne à l’Université d’Ottawa ou à l’Université Carleton, fouille le sol à la recherche de fossiles ou se détend au bord de l’eau.
Cassandra Marion
Cassandra est la conseillère scientifique du Musée de l'aviation et de l'espace du Canada. Elle est titulaire d'un doctorat en géologie et en science et exploration planétaires. Ses recherches portent sur les cratères d'impact de météorites dans l'Arctique canadien. Elle a plus d'une décennie d'expérience dans le domaine de l'éducation et de la sensibilisation dans l’élaboration et la prestation de programmes scientifiques. Elle se consacre à partager sa passion pour les sciences avec les communautés proches et lointaines, et à améliorer la culture scientifique au Canada.
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